Direktes Bild und Inverses Bild von D-Moduln

Konrad Voelkel

3. Juli 2009

Abstract Seien stets X,Y Top, f : X → Y stetig und Sh_∕X sowie Sh_∕Y. Wir untersuchen nun, wie sich, mittels f, als Garbe auf Y und als Garbe auf X betrachten lässt. Danach führen wir diese Betrachtung für _X-Moduln auf geringten Räumen (X,_X) durch und schliesslich für -Moduln auf Varietäten.

1 Direktes Bild und Inverses Bild von O-Moduln

Wir wiederholen bekanntes

f^-1

⊣ f_*

Sh_∕Y ↔ Sh_∕X

Wir wollen das übertragen auf folgendes:

f^*

⊣ f_*

_Y-Mod ↔

_X-Mod

Und schließlich

i⁺

⊣ i₊

Der(

_Y-Mod) ↔ Der(

_X-Mod)

Das direkte Bild

Definition 1. Seien X,Y Top und f : X → Y stetig. Dann ist f_* : Sh_∕X → Sh_∕Y mit (f_*)(U) := (f^-1(U)) ein Funktor, das direkte Bild von Garben. Auf Morphismen φ : → ist f_* definiert als f_*φ_U := φ_f^-1U.

Ist nun (X,_X) ein geringter Raum, so ist ein Morphismus von geringten Räumen eine stetige Abbildung f : X → Y zusammen mit einem Garbenmorphismus f^♯ : _Y → f_*_X in Sh_∕Y.

Für einen _X-Modul trägt f_* Sh_∕Y eine f_*_X-Modulstruktur, wir erhalten also einen Funktor, das direkte Bild von _X-Moduln

f* : OX -Mod → f*OX -Mod.

Der Funktor f_* auf Garben bzw.

_X-Moduln ist linksexakt, denn f_*

_f(x) =

_x und Kern- und Halmbildung bei einem Garbenmorphismus vertauschen.

Bemerkung.

Für c : X → pt ist c_*≃ Γ(X,-) (Globale Schnitte).
Für i : pt → Y mit y := i(pt) ist i_*= (pt)_(y) (Wolkenkratzergarbe).
Für i : AY abgeschlossene Einbettung ist i_* ein exakter Funktor, wie man auf Halmen sieht.
Für j : UY offene Einbettung können auf ∂j(U) Halme dazu kommen, daher ist j_* nicht rechtsexakt.

Das inverse Bild

Definition 2. Seien X,Y Top und f : X → Y stetig. Dann ist f^-1 : Sh_∕Y → Sh_∕X der Funktor, den wir naiv (f^-1 )(U) := (f(U)) definieren wollen. Allerdings ist f(U) i.A. nicht offen, daher definieren wir das inverse Bild von Garben

( ) + -1 f G := (U ↦→ ---li-m---→ G (V )) f(U)⊆V⊆∘X

(wobei wir die Garbifizierung ⁺ durchführen müssen, weil i.A. sonst nur eine Prägarbe dabei herauskommt).

Auf Halmen gilt (f^-1 )_x -→ ~_f(x), daher ist f^-1 ein exakter Funktor.

Seien (X,_X), (Y,_Y) nun geringte Räume und (f,f^♯) : (X,_X) → (Y,_Y) Morphismus von geringten Räumen. Ist _Y-Mod, so ist f^-1 f^-1_Y-Mod, aber i.A. kein _X-Modul. Daher definieren wir das inverse Bild von _X-Moduln

f* : OY -Mod → OX -Mod, f*G := f-1G ⊗ OX f-1OY

(wobei

_X ein f^-1

_Y-Modul ist, daher das Tensorprodukt dieser Garben definiert ist). Der Funktor f^* ist i.A. nur noch rechtsexakt, da das Tensorprodukt mit

_X über f^-1

_Y i.A. nur rechtsexakt ist. Wenn dieses Tensorprodukt exakt ist, heißt

_X flach über f^-1

_Y bzw. f ein flacher Morphismus.

Bemerkung.

Für c : X → pt ist c^-1 die konstante Garbe mit Schnitten (pt) auf X.
Für c : (X,_X) → (pt,R) ist c^*M = ΔM _X-Mod (Lokalisierung).
Für i : pt → Y mit y := i(pt) und Sh_∕Y ist i^-1 _y (Halm).
Für i : (pt,R) → (Y,_Y) und _Y-Mod ist i^*G_y.
Für i : A → Y abgeschlossene Einbettung ist i^* exakt.
Für j : U → Y offene Einbettung ist (j^*)(V) ≃(j(V)) für V⊆∘ U.

2 Direktes und inverses Bild von D-Moduln

Links- und Rechts--Moduln Für A_n können wir einen Antiautomorphismus definieren: φ : A_n^∘ -→ ~ A_n, der X_iX_i und ∂_i- ∂_i zur Definition hat. Man rechnet nach, dass φ die Kommutatorrelationen erfüllt und eine Basis auf eine Basis abbildet, damit ist φ ein Isomorphismus von Ringen. Das liefert eine Methode um A_n-Linksmoduln mit A_n-Rechtsmoduln zu identifizieren (via twisten mit φ).

Zurückziehen von -Moduln

Ein erster Versuch

Definition 3. Sei π : X → Y ein Morphismus von algebraischen Varietäten. Wir definieren den Funktor π⁺ : _Y-Mod → _X-Mod.

Zunächst lokal, also für X,Y affin und einen D_X-Modul M setze

π+ (M ) := R(X) ⊗ M R(Y)

und erkläre eine D_X-Operation auf π⁺(M) durch

( ) ′ ′ ∑ f(f⊗ m ) = ff⊗ m, ξ(f⊗ m ) = ξf⊗ m + f ξ(xi)⊗ ∂im i

wobei (x_i,∂_i) ein Koordinatensystem in D_Y sein soll und f′

R(X) sowie ξ

Der(X).

Für allgemeine Varietäten definieren wir nun

π+(F ) := OX ⊗ π-1(F) π-1OY

wobei die Operation von

_Y affin so wie auf D_Y definiert sein soll.

Achtung: bei Bernstein heißt dieser Funktor π^Δ.

Beispiel 1. Wir schauen uns die Operation am Beispiel des -Moduls der holomorphen Funktionen auf ℙ¹ℂ an, die auf ℂ zurückgezogen werden. Es ist

π+H (ℂ ) = O ℂ(ℂ) ⊗ π-1H (ℂ) π-1O ℙ1ℂ(ℂ)

= ℂ[X]O 1⊗π(ℂ))H π(ℂ ) ℙ ℂ

= ℂ [X ] ⊗ H π(ℂ) ℂ [X]

Lassen wir nun den Differentialoperator ∂

_ℂ(ℂ) auf ein Element des zurückgezogenen Moduls X² ⊗h wirken, so ist das per definitionem:

∂(X2 ⊗ h) = (δX2 )⊗ h + X2(∂(x)⊗ ∂h )

2 ′ = 2X⊗ h + X ⊗ h

Also eine Variante der Kettenregel.

Eine elegantere Definition

Definition 4. Seien X,Y glatte Varietäten und φ : X → Y Morphismus. Dann setze

DX →Y := φ *(DY ) = OX ⊗ φ-1DY ∈ (OX, φ -1DY )- Mod. φ-1OY

Sind X und Y affin mit Koordinatenringen R(X) und R(Y), und nennen wir die globalen Schnitte von

_Y hier D(Y), so führt das auf:

DX →Y := Γ (X, DX →Y) = Γ (X, OX ⊗ φ -1DY ) = R(X ) ⊗ D (Y) φ -1OY R(Y)

Lemma 1. Man kann zeigen, dass es auf _X→Y eine natürliche _X-Linksoperation gibt, die verträglich mit der Links- und Rechtsmodul-Struktur ist. Damit ist _X→Y sogar ein (_X,φ^-1_Y)-Bimodul.

Dazu betrachtet man die Garbe der Differentialoperatoren auf _X→Y. Diese operiert auf _X→Y und enthält Differentialoperatoren auf der ersten Komponente _X. Betrachten wir nur die Differentialoperatoren, die zugleich Endomorphismen von φ^-1_Y sind, so erhalten wir eine Garbe, die isomorph ist als Garbe filtrierter Ringe zu _X. Darüber ist dann die Operation erklärt.

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Lemma 2. Seien X,Y,Z glatte Varietäten und φ : X → Y und ψ : Y → Z Morphismen. Dann gilt:

DX →Z ≃ DX→Y ⊗ φ -1DY→Z. φ -1DY

als (

_X,(ψ ∘ φ)^-1

_Y)-Bimoduln, wie man leicht nachrechnet und, mit etwas mehr Aufwand, als (

_X,(ψ ∘ φ)^-1

_Y)-Bimoduln.

Bemerkung 1. Im Falle einer offenen Einbettung j : UX ist _U→X ≃ _X|U ≃ _U als (_U,j^-1_X)-Bimoduln und damit auch _U→X flach über _U, was relevant wird fürs direkte Bild.

Definition 5. Seien X,Y glatte affine Varietäten und φ : X → Y Morphismus. Setze

φ+ : DY -Mod → DX -Mod, φ+ (M ) := DX→Y ⊗ M inverses Bild DY

φ+ : DX -rMod → DY-rMod, φ+ (N) := N ⊗ DX →Y direktes Bild DX

dann sind φ⁺ und φ₊ rechtsexakte Funktoren.

Lemma 3.

-1 -| DX →Z ≃ DX →Y ⊗ φ DY →Z. -- DY

Korollar 1.

+ + + -| (φ ∘ψ ) = (ψ ∘ φ) und (ψ+ ∘φ+ ) = (ψ ∘φ )+ --

Definition 6. Für glatte nicht notwendig affine Varietäten setzen wir nun

φ+ : DY -Mod → DX -Mod, φ+ (V ) := DX →Y ⊗ φ -1V inverses Bild φ-1DY

und das ist ein rechtsexakter Funktor.

Vorschieben von -Moduln

Definition 7. Seien nun wieder X,Y glatte Varietäten und π : X → Y Morphismus.

Da nicht alle Funktionen integrierbar sind, Distributionen aber schon, sollten wir einen Funktor π₊ : _X-rMod → _Y-rMod suchen (denn Distributionen sind als Dual von Funktionen natürlicherweile Rechts--Moduln).

Wir setzen

π+ (H ) := π*(H ⊗ DX →Y ) DX

wobei π_* ein direktes Bild in der Kategorie der Garben sein soll. Diese Definition trägt das Problem mit sich, dass ⊗_{_X}

_X→Y rechtsexakt ist und π_* linksexakt, der Funktor π₊ somit also weder links- noch rechtsexakt ist.

Wir wollen daher zur derivierten Kategorie übergehen:

L π+ (H ) := Rπ *(H ⊗ DX →Y ) DX

Lemma 4. Für eine offene Einbettung i : UX ist _U→X = _U und daher i₊ = i_*.

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Satz 1 (Kashiwara). Sei i : AY eine abgeschlossene Einbettung. Die Funktoren i₊ : _A-Mod → _Y-AMod und i⁺ : _Y-AMod → _A-Mod sind zueinander invers und eine Äquivalenz von Kategorien.

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3 Beispiele

Beispiel 2. Die einfachsten Beispiele erhalten wir nun durch zurückziehen und vorschieben entlang konstanter Abbildungen sowie Projektionen auf einen Punkt. Wie bei Garben finden wir hier altbekannte Funktoren wieder.

Beispiel 3. Das Zurückziehen eines -Moduls auf ℙ¹ℂ entlang der Inklusion eines Punktes i : {z₀}ℙ¹ℂ ist gegeben durch

i+G = D ⊗ i-1 G = O ⊗ i-1 G. {z0}→ℙ1 i-1D 1 {z0}i-1O 1 ℙ ℙ

Es ist Γ({z₀},

_{z₀}) = ℂ und i^-1

_z₀ der Halm.

+ Γ ({z0}, i G) = ℂO ⊗1 Gz0 = Gz0. ℙ,z0

Damit hat der Halm via i⁺ eine

_{z₀}-Modulstruktur bekommen.

Beispiel 4. Wir betrachten den Rechts--Modul der holomorphen Funktionen auf ℂ und die Koordinatenabbildung j : A¹ℂ → ℙ¹ℂ mit zz. Das Vorschieben ist gegeben durch

j+(V) = π*(H ⊗DX DX→Y )

und die Schnitte über j(ℂ) und den offenen Teilmengen sind genau die holomorphen Funktionen auf der Karte. Für offene Mengen, die den Punkt ∞ enthalten, ergibt sich aber etwas neues: Sei V⊆∘ ℙ¹ mit ∞

V. Dann ist

-1 -1 j+V (V) = π*(VD⊗X DX →Y )(V ) = V (j V )D (⊗j-1V )DX→Y (j V) X

Die Mengen j^-1V sind nun Teilmengen von ℂ, die eine beschränkte Menge nicht enthalten. Betrachtet man den Limes der Mengen V (immer kleinere V), so erhält man als Urbilder unter j Teilmengen von ℂ, die immer größere beschränkte Teilmengen nicht enthalten. Da eine holomorphe Funktion entweder konstant ist oder betragsweise gegen ∞ geht für |z| → ∞, besteht der Halm von j₊

bei ∞ gerade aus den konstanten Funktionen, also ℂ, sowie den Keimen stetiger Funktionen, die außerhalb von ∞ holomorph sind.

4 Anhang

Eigentliche Abbildungen

Definition. Eine stetige Abbildung f : X → Y heißt eigentlich, wenn Urbilder von Kompakta wieder kompakt sind.

Lemma. X Top kompakt ⇔ c : X → pt eigentlich.

Ist X kompakt und Y Hausdorffraum, so ist jedes f : X → Y eigentlich und abgeschlossen. Das macht die Theorie in der differentialgeometrischen Variante deutlich einfacher.

Geringte Räume

Definition. Ein geringter Raum ist ein Paar (X,_X), wobei X Top (ein topologischer Raum) und _X Ring_∕X (eine Garbe von Ringen auf X) ist. Morphismen von geringten Räumen sind Paare (f,f^♯) mit f : X → Y stetig und f^♯ : _X → f_*_Y Garbenmorphismus.

Quasikohärente und kohärente Garben

Definition. Sei X eine Varietät (oder ein Schema) und _X-Mod (eine Garbe von _X-Moduln). Dann heißt quasikohärent, wenn

für X affin: ≃ ΔM für ein M _X(X)-Mod
sonst: falls für jeden Punkt eine affine offene Umgebung existiert, die 1 erfüllt.

Definition. Sei X eine Varietät (oder ein Schema) und _X-Mod. Dann heißt M kohärent, wenn

für X affin: ≃ ΔM für ein M _X(X)-Mod^e.e. (e.e. = endlich erzeugt).
sonst: falls für jeden Punkt eine affine offene Umgebung existiert, die 1 erfüllt.

Lemma. Natürlich sind kohärente _X-Moduln stets quasikohärent. Sowohl die kohärenten als auch die quasikohärenten bilden eine abelsche Kategorie.

Differentialoperatoren

Definition. Sei X eine Varietät über k. Ein k-linearer Endomorphismus D : _X(U) → _X(U) heißt von Ordnung k, wenn für alle f _X(U) der Operator [D,f⋅] von Ordnung k - 1 ist. D heißt von Ordnung 0, wenn [D,f⋅] = 0 für alle f _X(U). Ist ein Endomorphismus D : _X → _X für alle affinen U⊆∘ X von endlicher Ordnung, so heißt D Differentialoperator. Im affinen Fall ℂⁿ ist die Menge der Differentialoperatoren genau A_n(ℂ), die Weylalgebra. Im allgemeinen Fall bilden die Differentialoperatoren eine _X-Modulgarbe auf X, die wir mit _X bezeichnen.

Direktes und inverses Bild mit kompaktem Träger

Definition 8. Seien (X,_X), (Y,_Y) geringte Räume und (f,f^♯) : (X,_X) → (Y,_Y) Morphismus von geringten Räumen. Dann ist f_! : Ab_∕X → Ab_∕Y der Funktor, genannt direktes Bild mit kompaktem Träger (f_!)(U) := {s (f_*)(U) | supp s kompakt}. Dabei ist supp s = {x U | s_x≠0} der Träger. Auf Morphismen macht f_! das selbe wie f_*, nur eingeschränkt auf die jeweils kleineren Definitionsbereiche. Damit ist f_! Unterfunktor von f_*, deshalb ist f_! i.A. auch nur linksexakt.

Für einen _X-Modul trägt f_! natürlich eine f_*_X-Modulstruktur, aber sogar eine f_!_X-Modulstruktur. Damit definiert f_! einen Funktor, das direkte Bild mit kompaktem Träger von _X-Moduln

f! : OX-Mod → f!OX -Mod

Und f_! auf

_X-Mod ist linksexakt.

Bemerkung.

Für c : X → pt ist c_! ≃ Γ_c(X,-) (Globale Schnitte mit kompaktem Träger).
Für i : AY abgeschlossene Einbettung ist i_! = i_*.
Allgemein ist für jede eigentliche Abbildung f : X → Y stets f_! = f_*.

Definition 9. Zum Funktor f_! : Sh_∕X → Sh_∕Y betrachten wir den Rechtsderivierten f_! : Der(Sh∕X) → Der(Sh_∕Y) und nehmen dazu den rechtsadjungierten Funktor, den wir außerordentliches inverses Bild von Garben f^! = f^! : Der(Sh_∕Y) → Der(Sh_∕X) nennen. I.A. hat f_! keinen Rechtsadjungierten, daher gibt es f^! i.A. nur auf den derivierten Kategorien.

Das funktioniert analog für f_! : _X-Mod → _Y-Mod, wir erhalten auch hier ein außerordentliches inverses Bild f^! : Der(_Y-Mod) → Der(_X-Mod).

Bemerkung.

Für i : A → Y abgeschlossene Einbettung ist i^! nur linksexakt.
Für j : U → Y offene Einbettung ist j^! = j^*, also gibt es j^! auch ohne derivierte Kategorien und j^! ist exakt.